曲线曲面积分推导

本文主要参考 数学分析讲义（第二册）【程艺、陈卿、李平】高等教育出版社

0 参数曲线和参数曲面

参数曲线的表示如下

$$ \vec{r} = \vec{r} (t) = x(t) \vec{i} + y(t) \vec{j} + z(t) \vec{k}, \quad t \in [\alpha, \beta], $$

图 0.1 参数曲线的映射

用一维变量 $ t $ 上的一条线段映射到三维空间的曲线。

参数曲面的表示如下

$$ \vec{r} = \vec{r} (u, v) = x(u, v) \vec{i} + y(u, v) \vec{j} + z(u, v) \vec{k}, \quad u, v \in D. $$

图 0.2 参数曲面的映射

因为空间曲面可以看成由一条条空间曲线组成，因此想得到横纵很多条空间曲线，就需要二维变量 $ u, v $ 上横纵很多条线段构成的二维平面。

1 数量场在曲线上的积分

1.1 参数曲线的弧长公式

设曲线 $ L $ 的参数方程表示为

$$ \vec{r} = \vec{r}(t) = x(t) \vec{i} + y(t) \vec{j} + z(t) \vec{k}, \quad t \in [\alpha, \beta], $$

其中 $ x(t), y(t), z(t) $ 在区间 $ [\alpha, \beta] $ 有连续的一阶微商 $ x^{\prime} (t), y^{\prime} (t), z^{\prime} (t) $，且 $ |\vec{r}^{\prime} (t)| \neq 0 $，$ \varphi(x, y, z) $ 在曲线 $ L $ 上连续，因此 $ \varphi(x(t), y(t), z(t)) $ 在 $ [\alpha, \beta] $ 上连续。

当分割的弧长很小的时候，以两点之间的折线长代替弧长。

现在作 $ [\alpha, \beta] $ 的分割

$$ T: \alpha = t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_{n - 1} < t_n = \beta. $$

由此对应曲线 $ L $ 上以 $ M_i(x(t_i), y(t_i), z(t_i)), i = 0, 1, 2, \dots, n $，为分割点的分割。

图 1.1 参数曲线的弧长

如图 1.1 所示，曲线的弧长可以表示为

$$ l(T) = \sum_{i = 1}^{n} |\vec{r} (t_i) - \vec{r} (t_{i - 1})| = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{(x(t_i) - x(t_{i - 1}))^2 + (y(t_i) - y(t_{i - 1}))^2 + (z(t_i) - z(t_{i - 1}))^2} $$

由微分中值定理可得，$ \exist \xi_i, \eta_i, \zeta_i $，使得 $ x(t_i) - x(t_{i - 1}) = x^{\prime} (\xi_i) \Delta t_i, y(t_i) - y(t_{i - 1}) = y^{\prime} (\eta_i) \Delta t_i, z(t_i) - z(t_{i - 1}) = z^{\prime} (\zeta_i) \Delta t_i $，得到

$$ l(T) = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x^{\prime} (\xi_i)^2 + y^{\prime} (\eta_i)^2 + z^{\prime} (\zeta_i)^2} \Delta t_i, $$

其中 $ t_{i - 1} < \xi_i, \eta_i, \zeta_i < t_i, \Delta t_i = t_i - t_{i - 1} $。注意此时，$ x(t), y(t), z(t) $ 这三个函数不一定在同一点取导数，即不一定满足 $ \xi_i = \eta_i = \zeta_i $。因此上式并不是严格的 Riemann（黎曼）和的形式，需要做必要的修正，使其近似一个 Riemann 和的形式。

可以证明

$$ \forall \varepsilon > 0, |\sqrt{x^{\prime} (\xi_i)^2 + y^{\prime} (\eta_i)^2 + z^{\prime} (\zeta_i)^2} - |\sqrt{x^{\prime} (t_i)^2 + y^{\prime} (t_i)^2 + z^{\prime} (t_i)^2}| < \varepsilon $$

因此

$$ |l(T) - \sum_{i = 1}^{n} |\vec{r}^{\prime} (t_i)| \Delta t_i| < \varepsilon \sum_{i = 1}^{n} \Delta t_i = \varepsilon (\beta - \alpha) $$

而 $ |\vec{r}^{\prime} (t_i)| $ 在 $ [\alpha, \beta] $ 上的 Riemann 和的极限 $ \sum_{i = 1}^{n} |\vec{r}^{\prime} (t_i)| \Delta t_i| $ 正是 $ |\vec{r}^{\prime} (t_i)| $ 在 $ [\alpha, \beta] $ 上的积分 $ \int_{\alpha}^{\beta} |\vec{r}^{\prime} (t)| dt $。

因此 $ L $ 的弧长 $ l $ 定义为

$$ l = \lim_{||T|| \to 0} l(T) = \int_{\alpha}^{\beta} |\vec{r}^{\prime} (t)| dt = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{x^{\prime} (t)^2 + y^{\prime} (t)^2 + z^{\prime} (t)^2} dt $$

1.2 基本定义

设 $ L $ 时三维空间中一条光滑（或逐段光滑）曲线段，$ \varphi(x, y, z) $ 时定义在曲线 $ L $ 上的数量场（或函数）。作 $ L $ 的任意分割：$ M_0, M_1, M_2, \dots, M_n $，并记每段 $ \overgroup{M_{i - 1} M_i} $ 的弧长为 $ \Delta s_i $，最大长度为 $ \lambda = \max {|\Delta s_i|, i = 1, 2, \dots, n} $。在每段弧 $ \overgroup{M_{i - 1} M_i} $ 上任取一点 $ N_i(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) $。如果下列和式的极限

$$ \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 1}^n \varphi(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta s_i $$

是一个有限数，且与点 $ N_i(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) $ 的选择无关，那么称函数 $ \varphi(x, y, z) $ 在曲线 $ L $ 上可积。极限值称为数量场在曲线上的积分，或称为第一型曲线积分，记为

$$ \int_{L} \varphi(x, y, z) ds $$

1.3 数量场在曲线上的积分的计算

设曲线 $ L $ 的参数方程表示为

$$ \vec{r} = \vec{r}(t) = x(t) \vec{i} + y(t) \vec{j} + z(t) \vec{k}, \quad t \in [\alpha, \beta], $$

其中 $ x(t), y(t), z(t) $ 在区间 $ [\alpha, \beta] $ 有连续的一阶微商 $ x^{\prime} (t), y^{\prime} (t), z^{\prime} (t) $，且 $ |\vec{r}^{\prime} (t)| \neq 0 $，$ \varphi(x, y, z) $ 在曲线 $ L $ 上连续，因此 $ \varphi(x(t), y(t), z(t)) $ 在 $ [\alpha, \beta] $ 上连续。

现在作 $ [\alpha, \beta] $ 的分割

$$ T: \alpha = t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_{n - 1} < t_n = \beta. $$

由此对应曲线 $ L $ 上以 $ M_i(x(t_i), y(t_i), z(t_i)), i = 0, 1, 2, \dots, n $，为分割点的分割。由弧长的计算公式与积分中值定理，得到弧段 $ \overgroup{M_{i - 1} M_i} $ 的长为

$$ \Delta s_i = \int_{t_{i - 1}}^{t_i} |\vec{r}^{\prime} (t)| dt = |\vec{r}^{\prime} (\theta_i)| \Delta t_i, $$

其中 $ t_{i - 1} \leq \theta_i \leq t_i, \Delta t_i = t_i - t_{i - 1} (i = 1, 2, \dots, n) $。

取弧段上任意一点 $ N_i(\tau_i, \tau_i, \tau_i), t_{i - 1} \leq \tau_i \leq t_i (i = 1, 2, \dots, n) $，于是

$$ \sum_{i = 1}^n \varphi(x(\tau_i), y(\tau_i), z(\tau_i)) \Delta s_i = \sum_{i = 1}^n \varphi(x(\tau_i), y(\tau_i), z(\tau_i)) |\vec{r}^{\prime} (\theta_i)| \Delta t_i $$

等式的右边还不是一个函数的 Riemann 和，但我们可以作修正，$ \sum_{i = 1}^n \varphi(x(\tau_i), y(\tau_i), z(\tau_i)) |\vec{r}^{\prime} (\theta_i)| \Delta t_i $ 近似于 $ \sum_{i = 1}^n \varphi(x(\tau_i), y(\tau_i), z(\tau_i)) |\vec{r}^{\prime} (\tau_i)| \Delta t_i $

此 Riemann 和的极限正是 $ \varphi(x(t), y(t), z(t)) $ 在 $ [\alpha, \beta] $ 上的积分，因此

$$ \int_L \varphi(x, y, z) ds = \int_{\alpha}^{\beta} \varphi(x(t), y(t), z(t)) |\vec{r}^{\prime} (t)| dt = \int_{\alpha}^{\beta} \varphi(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{x^{\prime} (t)^2 + y^{\prime} (t)^2 + z^{\prime} (t)^2} \Delta t $$

$ ds = |\vec{r}^{\prime} (t)| \Delta t $。

2 向量场在曲线上的积分

2.1 物理背景

设 $ F(x,y,z) = P(x,y,z) \vec{i} + Q(x,y,z) \vec{j} + R(x,y,z) \vec{k} $ 是一个力场,考察一个质点沿一条曲线 $ L $运动时力场所做的功，应注意三个要素，即力场的方向、质点运动的方向和质点运动的距离。为此可以采取以下办法(图 2.1)：

图 2.1 参数曲线上做功

沿质点运动方向上作曲线 $ L $ 的一个分割，记为 $ M_i(x_i, y_i, z_i), i = 0, 1, 2, \dots, n $。

在第 $ i $ 段上，力场 $ \vec{F} $ 可近似成一个常值向量

$$ \vec{F_i} = P_i \vec{i} + Q_i \vec{j} + R_i \vec{k}. $$

该段曲线可近似成有向线段

$$ \Delta \vec{r_i} = \vec{M_{i - 1} M_i} = \Delta x_i \vec{i} + \Delta y_i \vec{j} + \Delta z_i \vec{k}. $$

它的方向指向质点运动的方向。因此力场在每一小段上所做的功可近似为

$$ W_i = \vec{F_i} \cdot \Delta \vec{r_i} = P_i \Delta x_i + Q_i \Delta y_i + R_i \Delta z_i. $$

将这样的近似值相加,并让分割的最大长度趋于零,那么结果就是力场所做的总功。

2.2 数量场在曲线上的积分的定义

设 $ \vec{v} = P(x, y, z) \vec{i} + Q(x, y, z) \vec{j} + R(x, y, z) \vec{k} $ 是空间区域 $ D $ 中的向量场，$ L_{AB} $ 是 $ D $ 中的定向曲线，在 $ L_{AB} $ 上从 $ A $ 到 $ B $ 依次选取任意的分割点：

$$ A = M_0, M_1, M_2, \dots, M_n = B, $$

其中分割点的坐标是 $ M_i(X_i, Y_i, Z_i), i = 0, 1, 2, \dots, n $。则

$$ \Delta \vec{r_i} = \vec{M_{i - 1} M_i} = \Delta x_i \vec{i} + \Delta y_i \vec{j} + \Delta z_i \vec{k}. $$

在每一段弧 $ \overgroup{M_{i - 1}{M_i}} $ 上任取一点 $ N_i(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) $，当分割的最大长度趋于零时，如果下列和式：

$$ \sum_{i = 1}^n \vec{v}(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta \vec{r_i} = \sum_{i = 1}^n P(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta x_i + Q(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta y_i + R(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta z_i $$

的极限存在且有限，那么极限值称为向量场 $ \vec{v} $ 沿着曲线 $ L_{AB} $ 上的积分，记为

$$ \int_{L_{AB}} \vec{v} \cdot d\vec{r}. $$

2.3 数量场在曲线上的积分的计算

下面利用曲线的参数方程表示，将向量场在曲线上的积分的计算具体化。

设向量场 $ \vec{v} = P(x, y, z) \vec{i} + Q(x, y, z) \vec{j} + R(x, y, z) \vec{k} $ 在区域 $ D $ 内 连续，曲线 $L_{AB} \subset D $具有参数方程表示

$$ L_{AB}: \vec{r}=\vec{r} (t) = x(t) \vec{i} + y(t) \vec{j} + z(t) \vec{k}, t \in [\alpha, \beta], $$

且有连续的导函数，参数$ t $ 是正向参数，则向量场在 $ L_{AB} $ 上可积，且可化为下列定积分

$$ \int_{L_{AB}} \vec{v} \cdot d\vec{r} = \int_{\alpha}^{\beta} \vec{v}(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}^{\prime} (t) dt = \int_{\alpha}^{\beta} [P(x(t), y(t), z(t)) x^{\prime} (t) + Q(x(t), y(t), z(t)) y^{\prime} (t) + R(x(t), y(t), z(t)) z^{\prime} (t)] dt $$

下面进行证明

对参数所在的区间 $ [\alpha, \beta] $ 进行的任意分割 $ T: \alpha = t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n = \beta $，则对应曲线上沿方向从 $ A $ 到 $ B $ 的任意分割 $ A = M_0, M_1, M_2, \cdots, M_n = B $，根据曲线参数方程表示的连续性可知，关于$ t $ 的分割最大长度趋于零等价于曲线上 对应的分割最大长度趋于零。此时

$$ \Delta \vec{r_i} = \vec{M_{i - 1} M_i} = \vec{r}(t_i) - \vec{r}(t_{i - 1}) = \Delta x_i \vec{i} + \Delta y_i \vec{j} + \Delta z_i \vec{k}. $$

根据微分中值定理有

$$ \Delta x_i = x(t_i) - x(t_{i - 1}) = x^{\prime} (\lambda_i) \Delta t_i, \Delta y_i = y(t_i) - y(t_{i - 1}) = y^{\prime} (\mu_i) \Delta t_i, \Delta z_i = z(t_i) - z(t_{i - 1}) = z^{\prime} (\nu_i) \Delta t_i, $$

其中 $ t_{i - 1} \leq \lambda_i, \mu_i, \nu_i \leq t_i $。取第 $ i $ 段曲线上任意一点

$$ (\xi_i, \eta_i, \zeta_i) = (x(\tau_i), y(\tau_i), z(\tau_i)), \tau_i \in [t_{i - 1}, t_i], $$

这里 $ i = 1, 2, \dots, n $，则

$$ \begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n} \vec{v}(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \cdot \Delta \vec{r_i} &= \sum_{i = 1}^n \vec{v}(x(\tau_i), y(\tau_i), z(\tau_i)) \cdot \Delta \vec{r_i} \\ &= \sum_{i = 1}^n (P(x(\tau_i), y(\tau_i), z(\tau_i)) x^{\prime} (\lambda_i) + Q(x(\tau_i), y(\tau_i), z(\tau_i)) y^{\prime} (\mu_i) + R(x(\tau_i), y(\tau_i), z(\tau_i)) z^{\prime} (\nu_i)) \Delta t_i \end{aligned} $$

注意到上式最后一个等式中，虽然三个求和项都不是严格的 Riemann 和，但可以采取数量场在曲线上积分时的处理办法,进行必要的修正，使得每个求和都能表示成严格的 Riemann 和（即$ \lambda_i = \mu_i = \nu_i = \tau_i $）与一个修正项之和。当$ |T| \to 0 $时，修正项的极限为零，所以有

$$ \begin{aligned} \lim_{|T| \to 0} \sum_{i = 1}^n \vec{v}(x(\tau_i), y(\tau_i), z(\tau_i)) \cdot \Delta \vec{r_i} &= \int_{\alpha}^{\beta} [P x^{\prime} (t) + Q y^{\prime} (t) + R z^{\prime} (t)] dt \\ &= \int_{\alpha}^{\beta} \vec{v}(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}^{\prime} (t) dt \end{aligned} $$

向量场在曲线上的积分有下列两种表示，每一种表示都突出了积分的某种 含义。

首先，设 $ s $ 为曲线 $ L_{AB} $ 的弧长参数，弧长的增长对应曲线正向，$ \vec{\tau}(s) = \frac{\vec{r}^{\prime} (s)}{|\vec{r}^{\prime} (s)|} $ 为弧长方向上的单位向量，有

$$ d \vec{r} = \vec{r}^{\prime} (s) dt = \frac{\vec{r}^{\prime} (s)}{|\vec{r}^{\prime} (s)|} |\vec{r}^{\prime} (s)| dt = \vec{\tau}(s) ds. $$

因此，向量场的曲线积分可表示为

$$ \int_{L_{AB}} \vec{v} \cdot d \vec{r} = \int_{L_{AB}} \vec{v} \cdot d \vec{r} = \int_{L_{AB}} \vec{v} \cdot \vec{\tau} ds. $$

等式的右边正是一个关于数量场 $ \vec{v} \cdot \vec{\tau} $ 的曲线积分。

其次，利用

$$ d \vec{r} = dx \vec{i} + dy \vec{j} + dz \vec{k}, $$

我们有

$$ \int_{L_{AB}} \vec{v} \cdot d \vec{r} = \int_{L_{AB}} P dx + Q dy + R dz. $$

综合上述两种表示，如果将单位切向量 $ \vec{\tau} $ 表示为方向余弦

$$ \vec{\tau} = \cos \alpha \vec{i} + \cos \beta \vec{j} + \cos \gamma \vec{k}, $$

那么，从

$$ d \vec{r} = \cos \alpha ds \vec{i} + \cos \beta ds \vec{j} + \cos \gamma ds \vec{k} = dx \vec{i} + dy \vec{j} + dz \vec{k} $$

不难看出

$$ dx = \cos \alpha ds, dy = \cos \beta ds, dz = \cos \gamma ds, $$

即 $ dx, dy, dz $ 分别式 $ \vec{\tau} ds $ 在 $ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} $ 上的有向投影，并且

$$ \begin{aligned} \int_{L_{AB}} \vec{v} \cdot d \vec{r} &= \int_{L_{AB}} (P \cos \alpha + Q \cos \beta + R \cos \gamma) ds &= \int_{L_{AB}} P dx + Q dy + R dz \end{aligned} $$

3 数量场在曲面上的积分

3.1 曲面的面积

设 $ S $ 是一张光滑的参数曲面：

$$ \vec{r} = \vec{r}(u, v) = x(u, v) \vec{i} + y(u, v) \vec{j} + z(u, v) \vec{k}, u, v \in D, $$

即 $ x(u, v), y(u, v), z(u, v) $ 具有连续的偏导数，且

$$ \vec{r_{u}}^{\prime} \times \vec{r_{v}}^{\prime} \neq 0, $$

这里 $ D $ 是参变量 $ (u, v) $ 所在平面中的一个有界区域。

应平行于 $ Ouv $ 的坐标轴的直线 $ u = u_i, v = v_j $ 取分割区域 $ D $，其中一个小区域 $ D_{ij} = {(u, v)| u_i \leq u \leq u_{i + 1}, v_j \leq v \leq v_{j + 1}} $ 对应在 $ S $ 上就得到一个子曲面 $ S_{ij} $，它由两条 $ u $ 曲线 $ v = v_j, v = v_{j + 1} $ 和两条 $ v $ 曲线 $ u = u_i, u = u_{i + 1} $ 围成。当 $ \Delta u_i = u_{i + 1} - u_i $ 和 $ \Delta v_j = v_{j + 1} - v_j $ 都很小时，$ S_{ij} $ 可以近似看成由两个向量 $ \vec{r} (u_{i + 1}, v_j) - \vec{r}(u_i, v_j) $ 和 $ \vec{r}(u_i, v_{j + 1}) - \vec{r}(u_i, v_j) $ 张成的平行四边形（图 3.1）

图 3.1 参数曲面的近似面积图示

因为

$$ \vec{r} (u_{i + 1}, v_j) - \vec{r}(u_i, v_j) = \vec{r_{u}}^{\prime} (u_i, v_j) \Delta u_i + o(\Delta u_i), \\ \vec{r}(u_i, v_{j + 1}) - \vec{r}(u_i, v_j) = \vec{r_{v}}^{\prime} (u_i, v_j) \Delta v_j + o(\Delta v_j), $$

所以，$ S_{ij} $ 的面积

$$ \sigma(S_{ij}) \approx |\vec{r_{u}}^{\prime} (u_i, v_j) \times \vec{r_{v}}^{\prime} (u_i, v_j)| \Delta u_i \Delta v_j. $$

也就是说，用“以直代曲”的思想，曲面的一小块面积可以用切平面上以 $ \vec{r_{u}}^{\prime} (u_i, v_j) \Delta u_i $ 和 $ \vec{r}_{v}^{\prime} (u_i, v_j) \Delta v_j $ 为边的平行四边形面积来近似。于是曲面 $ S $ 的面积

$$ \sigma(S) = \iint_D |\vec{r_{u}}^{\prime} (u, v) \times \vec{r}_{v}^{\prime} (u, v)| du dv. $$

记

$$ E = {\vec{r_{u}}^{\prime}}^2 = {x_{u}^{\prime}}^2 + {y_{u}^{\prime}}^2 + {z_{u}^{\prime}}^2, \\ F = {\vec{r_{v}}^{\prime}}^2 = {x_{v}^{\prime}}^2 + {y_{v}^{\prime}}^2 + {z_{v}^{\prime}}^2, \\ G = \vec{r_{u}}^{\prime} \cdot \vec{r_{v}}^{\prime} = x_{u}^{\prime} x_{v}^{\prime} + y_{u}^{\prime} y_{v}^{\prime} + z_{u}^{\prime} z_{v}^{\prime}, $$

那么，记

$$ dS = |\vec{r_{u}}^{\prime} (u, v) \times \vec{r_{v}}^{\prime} (u, v)| du dv = \sqrt{E F - G^2} du dv, $$

并称为曲面的面积元素。因此，曲面 $ S $ 的面积的一般计算公式为

$$ \sigma(S) = \iint_D \sqrt{E F - G^2} du dv. $$

3.2 数量场在曲面上的积分的计算

设 $ S $ 是一张有界的光滑曲面，$ \varphi(x, y, z) $ 是定义在 $ S $ 上的数量场。把 $ S $ 分成 $ n $ 快曲面 $ S_1, S_2, \cdots, S_n $，每一小块的面积记为 $ \sigma(S_i) $。在 $ S_i $ 上任取一点 $ M_i(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) $，如果下列极限

$$ \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 1}^n \varphi(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \sigma(S_i) $$

是一个有限数，而且与 $ M_i(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) $ 的选择无关，其中 $ \lambda \to 0 $ 表示分块越来越细，那么称 $ \varphi(x, y, z) $ 在曲面 $ S $ 上可积，极限值就是它的积分值，记成

$$ \iint_S \varphi(x, y, z) dS = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 1}^n \varphi(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \sigma(S_i). $$

设曲面 $ S $ 具有参数方程表示

$$ \vec{r} = \vec{r}(u, v) = x(u, v) \vec{i} + y(u, v) \vec{j} + z(u, v) \vec{k}, u, v \in D, $$

其中 $ D $ 是平面 $ O^{\prime} uv $ 上的有界闭区域，$ S $ 上的分块对应 $ D $ 的矩形分割。设 $ \varphi(x, y, z) $ 在包含 $ S $ 的一个区域内连续，则它在 $ S $ 上的曲面积分是一定存在的，而且有

$$ \begin{aligned} \iint_S \varphi(x, y, z) dS &= \iint_D \varphi(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) |\vec{r_{u}}^{\prime} (u, v) \times \vec{r_{v}}^{\prime} (u, v)| du dv \\ &= \iint_D \varphi(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \sqrt{E F - G^2} du dv. \end{aligned} $$

注意：上式的右端，正式定义在平面区域 $ D $ 上函数 $ \varphi(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) |\vec{r_{u}}^{\prime} (u, v) \times \vec{r_{v}}^{\prime} (u, v)| $ 的二重积分。

4 向量场在曲面上的积分

4.1 物理背景

本节讨论向量场在曲面上的积分，也称为第二型曲面积分。设想在一条河流中放置一张渔网，流体通过渔网这张曲面的速率称为通量，即单位时间内通过曲面的流体体积（图 4.1）。决定通量大小的因素有：流体的流速、流向与曲面的角度、曲面的面积以及通过曲面的哪一个流动方向是正方向。

图 4.1 参数曲面的通量

4.2 向量场在曲面上的积分的定义

我们以计算流体通过空间曲面的通量为例，引进向量场在曲面上积分的具体形式。

设 $ \vec{v} $ 是一个不可压缩流体的速度场，$ S $是一张定向曲面。确定方向的单位法向量是 $ \vec{n} $ （图 4.2）。取 $ S $ 上一小块面积元 $ dS $，因此“有向面积元”（即面积元向量）为$ d \vec{S} = \vec{n} dS $。在$ dS $ 上取一点 $ M $，则流体在 $ dS $上的速度可近似为 $ \vec{v}(M) $。那么单位时间内流经 $ dS $ 的流量为

$$ dN = \vec{v} \cdot d \vec{S} = \vec{v} \cdot \vec{n} dS, $$

图 4.2 参数曲面的正向单位法向量和速度场

于是过 $ S $ 的通量（单位时间内流过 $ S $ 的流量）就是一种积分，即

设 $ \vec{v} (M) $ 是定义在定向曲面 $ S $ 上的一个向量场， $ S $ 的正向为单位法向量 $ \vec{n} $，则下列积分

$$ \iint_S \vec{v} \cdot d \vec{S} = \iint_S \vec{v} \cdot \vec{n} dS. $$

称为向量场 $ \vec{v} $ 在有向曲面 $ S $ 上的曲面积分。或者说向量场在曲面上的积分是通过数量场 $ \vec{v} \cdot \vec{n} $ 的在 $ S $ 上的曲面积分给出的。当曲面 $ S $ 是一个封闭曲面时，称积分为向量场通过封闭曲面的通量，优势也记为

$$ \oiint_S \vec{v} \cdot d \vec{S}. $$

4.3 向量场在曲面上的积分的计算

在直角坐标系下，设向量场为

$$ \vec{v} = P \vec{i} + Q \vec{j} + R \vec{k}; $$

$ S $ 是一张定向光滑曲面，并且具有正向参数表示

$$ \vec{v} = \vec{r} (u, v) = x(u, v) \vec{i} + y(u, v) \vec{j} + z(u, v) \vec{k}, u, v \in D. $$

它的面积元为 $ dS = |\vec{r_{u}}^{\prime} (u, v) \times \vec{r_{v}}^{\prime} (u, v)| du dv $。此时正向单位法向量为

$$ \vec{n} = \vec{n} (u, v) = \frac{\vec{r_{u}}^{\prime} (u, v) \times \vec{r_{v}}^{\prime} (u, v)}{|\vec{r_{u}}^{\prime} (u, v) \times \vec{r_{v}}^{\prime} (u, v)|} . $$

则有向面积元为

$$ d \vec{S} = \vec{n} dS = \frac{\vec{r_{u}}^{\prime} (u, v) \times \vec{r_{v}}^{\prime} (u, v)}{|\vec{r_{u}}^{\prime} (u, v) \times \vec{r_{v}}^{\prime} (u, v)|} dS = \vec{r_{u}}^{\prime} (u, v) \times \vec{r_{v}}^{\prime} (u, v) du dv , $$

因此向量场积分可以化为参数区域 $ D $ 上的二重积分

$$ \begin{aligned} \iint_S \vec{v} \cdot d \vec{S} &= \iint_S \vec{v} \cdot \vec{n} dS = \iint_D \vec{v} \cdot \vec{r_{u}}^{\prime} \times \vec{r_{v}}^{\prime} du dv \\ &= \iint_D \begin{vmatrix} P & Q & R \\ x_{u}^{\prime} & y_{u}^{\prime} & z_{u}^{\prime} \\ x_{v}^{\prime} & y_{v}^{\prime} & z_{v}^{\prime} \end{vmatrix} du dv \\ &= \iint_D [P \frac{\partial(y, z)}{\partial (u, v)} + Q \frac{\partial(z, x)}{\partial (u, v)} + R \frac{\partial(x, y)}{\partial (u, v)}] du dv . \end{aligned} $$

上式中，积分的方向实际上隐含在 $ \frac{\partial(y, z)}{\partial (u, v)} $ 等三个 Jacobi 行列式中。有向面积元又可以表示为

$$ \begin{aligned} d \vec{S} &= (\vec{r_{u}}^{\prime} \times \vec{r_{v}}^{\prime} ) du dv \\ &= [\frac{\partial(y, z)}{\partial (u, v)} du dv] \vec{i} + [\frac{\partial(z, x)}{\partial (u, v)} du dv] \vec{j} + [\frac{\partial(x, y)}{\partial (u, v)} du dv] \vec{k} . \end{aligned} $$

记

$$ dy \land dz = \frac{\partial(y, z)}{\partial (u, v)} du dv, dz \land dx = \frac{\partial(z, x)}{\partial (u, v)} du dv, dx \land dy = \frac{\partial(x, y)}{\partial (u, v)} du dv , $$

则

$$ d \vec{S} = (dy \land dz) \vec{i} + (dz \land dx) \vec{j} + (dx \land dy) \vec{k} . $$

如果用方向余弦表示曲面的正向单位法向量

$$ \vec{n} = \cos \alpha \vec{i} + \cos \beta \vec{j} + \cos \gamma \vec{k}, $$

这里 $ \alpha, \beta, \gamma $ 表示 $ \vec{n} $ 与三个坐标轴的正向的夹角，那么有向面积元为

$$ d \vec{S} = \cos \alpha dS \vec{i} + \cos \beta dS \vec{j} + \cos \gamma dS \vec{k} . $$

所以

$$ dy \land dz = \cos \alpha dS, dz \land dx = \cos \beta dS, dx \land dy = \cos \gamma dS , $$

它们分别为有向面积 $ d \vec{S} $ 在三个坐标平面 $ Oyz, Ozx, Oxy $ 上的投影。

因此，向量场积分又可以表示为

$$ \begin{aligned} \iint_S \vec{v} \cdot d \vec{S} &= \iint_S P dy \land dz + Q dz \land dx + R dx \land dy \\ &= \iint_S (P \cos \alpha + Q \cos \beta + R \cos \gamma) dS \\ \end{aligned} $$

为了简化起见，记

$$ dy dz = dy \land dz, dz dx = dz \land dx, dx dy = dx \land dy, $$

即，可用记号

$$ \iint_S P dy dz + Q dz dx + R dx dy $$

表示向量场积分，但此时的 $ dydz, dzdx, dxdy $ 已经具有了方向的含义。

5 Green 定理、Gauss 定理和 Stokes 定理

5.1 三者关系

图 5.1 Green 定理、Gauss 定理和 Stokes 定理三者的关系

5.2 Stokes 定理推导的思路

图 5.2 Stokes定理推导的思路